Орбитальная неопределенность

В одной известной пословице говорится, что настоящий мужчина должен сделать три вещи: построить дом, посадить дерево и вырастить ребенка.

Но, мало кто знает, что есть четвертый пункт на пути становления настоящим мужчиной: знание того как вывести формулу вычисления периода обращения Земли вокруг Солнца.

Если попробовать поискать точное значение, за которое Земля совершает полный оборот вокруг Солнца, то получим кучу разных значений, с той или иной погрешностью:

В школе нас учат, что период обращения Земли вокруг Солнца составляет 365.25 дней. За 4 года собирается лишний день, что в итоге дает нам 29й день Февраля.

Так почему же значения отличаются? Что ж, тому есть причина. 

Известно, что сидерический [он же орбитальный] период это промежуток времени, за который Земля совершает один полный оборот вокруг Солнца и, все это происходит относительно звезд. Формула для вычисления орбитального периода, косвенно выводится/получается из обобщённого решения третьего закона Кеплера, который в свою очередь - выводятся из общего решения задачи двух тел. В классической понимании, задача двух тел состоит в том, чтобы определить движение двух точечных частиц, которые взаимодействуют исключительно друг с другом. 

Например, спутник, обращающийся вокруг планеты или, планета, обращающаяся вокруг звезды или, две звезды, обращающиеся вокруг друг друга и подобное. В общем же представлении, любая классическая система, состоящая из двух частиц, по определению - задача двух тел. Во многих случаях, одно тело тяжелее другого, как например в системе Земля и Солнце, где малая Земля движется вокруг крупного Солнца. В таких случаях, более тяжёлая частица играет роль центра масс и, задача сводится к задаче о движении одного тела в потенциальном поле другого.

Первым делом, нужно вывести обобщенное решение третьего закон Кеплера. Известно, что третий закон Кеплера следует из того, что центростремительная сила тела должна быть равна силе его гравитационного притяжения. В частности, при вращении Земли вокруг Солнца [оси], в качестве центростремительной силы вступает сила гравитационного притяжения:

где:

И учитывая, что:

Центростремительная сила это сила, действующая на тело [которое совершает движение по окружности радиуса r с постоянной по величине скоростью v] и, направленная к центру окружности:

где:

Сила гравитационного притяжения любых двух частиц/точек/тел прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

где:

То, получим [для Солнечной системы]:

где:

Если представить угловую скорость как:

где:

То, получим:

В данном случае, показывается движение/вращение/обращение малого тела вокруг центрального/большого тела, по круговой орбите, поэтому r обозначает радиус орбиты. А для получения формулы движения/вращения/обращения малого тела вокруг центрального/большого тела по эллиптической орбите - нужно заменить r на a, где a - большая полуось орбиты.

И еще, масса центрального тела должна включать в себя и массу его спутников[в случае, если они у него имеются].

Объединив все вышеприведенное, получим:

 где:          

Произведение гравитационной постоянной на массу центрального тела можно обозначить как:

где:

Так как значение массы m ничтожно мало[по сравнению с массой центрального тела], то им можно пренебречь:

Это значительно упростит вычисления и подведет к окончательной формуле для определения орбитального/сидерического периода:

В общем представлении, T это период обращения малых тел по эллиптической или круговой орбите, вокруг более крупного центрального тела. Теперь же, осталось лишь подставить значения и вычислить орбитальный/сидерический период планеты Земля. В зависимости от того, на какой источник ориентироваться, могут получиться разные итоговые результаты.

Значения гравитационной постоянной G:

Значения массы Солнца M:

Значения длины большой полуоси орбиты планеты Земля a:

Как видно, значения большой полуоси орбиты планеты Земля, частично совпадают с расстоянием от Земли до Солнца. Почему? Ну, большая ОСЬ эллиптической орбиты это наибольший его диаметр, то есть отрезок проходящий через центр и два противоположных фокуса. Значит, большая ПОЛУОСЬ составляет половину этого расстояния и, идёт от центра эллипса через фокус к его краю, что в частичных моментах - и есть расстояние от Земли до Солнца.

Значения гравитационного параметра μ [для Солнца]:

Стоит также учесть, что, для отдельных объектов Солнечной системы, значение μ известно с большей точностью, чем отдельные значения гравитационной постоянной G и массы соответствующего тела M. Это связано с тем, что гравитационный параметр может быть выведен всего лишь из продолжительных астрономических наблюдений, тогда как определение гравитационной постоянной и массы тела - требует более тонких измерений, экспериментов и вычислений. К тому же, значения гравитационной постоянной и массы тела - меняются, поэтому погрешности в вычислениях не избежать.

А теперь, выберем значения и подставим в формулу.

Вот значения:

Вот, собственно и вычисления:

Получим 31 558 196,769755758 секунды. Переведем в минуты/часы/дни:

В итоге, получим продолжительность сидерического года/периода, то есть, время совершения полного оборота Земли вокруг Солнца: 365,256907 суток/дней[365 дней 6 часов 9 минут 56 секунд]. Если "поэкспериментировать" с другими значениями, то в среднем, погрешность будет варьироваться от -0,05 до +0,05 суток/дней[но, это не точно].